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DIE MATHEMATIK VON MUSIK



Was ist Musik? Im Grunde ist Musik nur Luft, die in bestimmten Druckmustern vibriert. Jedes Objekt, das in der Luft vibriert, wird Druckimpulse abgeben. Die Impulse werden von unseren menschlichen Ohren festgestellt, und von den Nerven in elektrische Zeichen umgewandelt, die werden zu dem Gehirn zur Auslegung geschickt [AV 06]. Wenn die Bewegung zwischen 15 und 20,000 Vibrationen pro Sekunde ist, werden wir die vibrierende Luftbewegungen als einen musikalischen Ton hören. In einem Blasinstrument, wie einer Flöte oder einer Trompete oder einer Orgel, blasen wir Luft in ein Rohr, was 'ständige Wellen' von vibrierender Luft gründet, die wir noch einmal als einen musikalischen Ton hören.

Der Ausdruck 'Hertz' (Hz) wird gebraucht, Frequenz als Vibrationen pro Sekunde auszudrücken. In wissenschaftlicher Notation hat der Ton 'mittleres C' eine Frequenz von 256 Hz. Mit anderen Worten, ein Instrument, das diesen Ton spielt, macht die Luft 256 mal pro Sekunde vibrieren. Je höher die Frequenz, desto höher wird die Tonhöhe des Tones. So kommen wir zu der ersten Verbindung zwischen Musik und Mathematik. Wenn wir die Frequenz zu 512 Hz verdoppeln – mit anderen Worten, wenn wir die Luft zweimal so schnell vibrieren machen – werden wir einen C Ton genau eine Oktave über mittlerem C hören. Hören wir diese Töne [AV 07].

Die Wellenlänge einer Klangwelle ist die Entfernung zwischen aufeinander-folgenden Spitzen oder Tiefen in den Druckimpulsen [AV 08]. Wenn ein Ton gespielt wird, können wir den unterschiedlichen Luftdruck von einem Welleformdiagramm verkörpern [AV 09].  Aber erinnere, dass die Luftmolekule nur vibrieren, nicht vorankommen. Nur die Druckwellen vorankommen. Die Frequenz (Tonhöhe) jedes Tones  ist im umgekehrten Verhältnis zu der Wellenlänge. So, wenn wir die Wellenlänge halbieren, verdoppeln wir die Frequenz. Wie wir schon wissen, macht Verdoppeln der Frequenz den Ton eine Oktave höher klingen [AV 10].

Beobachtet, dass weil die Frequenz umgekehrt proportional zu ihrer Wellenlänge ist, muss dann das Produkt von Frequenz und Wellenlänge konstant sein. In diesem Fall ist die Konstante die Schallgeschwindigkeit (ungefähr 340 Meter pro Sekunde).

Wellenlänge  x  Frequenz  =  Schallgeschwindigkeit

oder

Wellenlänge  = Schallgeschwindigkeit
                                   Frequenz

oder

Frequenz  = Schallgeschwindigkeit
                              Wellenlänge

Was passiert, wenn wir die niedrigere und höhere C Tone zusammen spielen? Die Welleformen verbinden sich, ein komplizierteres Muster zu geben, aber das menschliche Gehirn ist klug genug, das Muster in seine getrennte Teile zu lösen. Wir können die getrennten Töne hören [AV 11]. In einer normalen 8-Ton (12-Halbton) Oktave sind die 'perfekten' Verhältnisse zwischen den Frequenzen der Tönen wie hier gezeigt. In diesem Beispiel werden wir die C-dur Tonleiter gebrauchen [AV 12].

Wenn wir diese Frequenzen in anderen Tonarten zu gebrauchen versuchen, ergeben sich Probleme. Wir haben oben gesehen, zum Beispiel, dass der D Ton über mittleren C eine 'perfekte' Frequenz von 288 Hz hat, und der A Ton über mittlerem C 427 Hz. Aber, wie C zu G, D zu A ist auch auf einer normalen Tonleiter ein 'fünftes' Intervall, so dass das Frequenzverhältnis zwischen A und D auch 1.5 zu 1 sein soll. Aber die Frequenzen, die wir oben berechnet haben, geben ein anderes Verhältnis: 427/288 kommt gleich 1.48, nicht 1.5, das es sein soll. Wenn ein Instrument, das auf die 'perfekten' C-Tonartfrequenzen abgestimmt wird, einen A Ton spielt, wird es also ein sehr wenig tiefer klingen, verglichen mit einem Instrument, das auf die 'perfekte' D-Tonart abgestimmt wird. Wenn diese zwei Töne zusammen gespielt werden, wird ein unharmonisches 'Schlagen' gehört werden [AV 13].

Die Lösung von dem Problem von Frequenzfehlanpassung ist einen Kompromiss zu finden. Wir müssen annehmen, dass die idealen Verhältnisse nicht erreicht werden können. Als Bach seine WTK Stücke komponierte, war seine Absicht, dass Spieler Stücke in jeder möglichen Tonart in der 12-Halbton Oktave spielen können sollen. So, alle die Fünftel sind nahe 1.5 über 1 im Frequenzverhältnis, aber nicht genau. Zu den meisten menschlichen Ohren, ist die zierliche Diskrepanz zwischen den Kompromissen und idealen Verhältnissen nicht wahrnehmbar.

Die häufigste Abstimmung von Klavierinstrumenten ist heute in Übereinstimmung mit dem gleichen Temperamentformat, in dem das Frequenzverhältnis jedes Tones zum Ton ein Halbton unterhalb oder oben identisch ist. Schon wissen wir, dass es 12 Halbtöne in einer Oktave gibt, und eine Oktave eine Verdopplung von Frequenz symbolisieret. Daher folgt es, dass das Frequenzverhältnis zwischen jeden zwei Halbtönen mathematisch gleich zu der zwölften Wurzel von zwei sein muss, d.h. 1.059463. In diesem System ist das Frequenzverhältnis zwischen jeden zwei Tönen ein Fünftel entfernt 1.498307, anstelle von dem 'perfekten' 1.500000. Wie wir vorher sagten, bemerken die meisten menschlichen Ohren die Diskrepanz nicht. Hören wir einige Fünftel mit gleichen Temperamentabstimmungen [AV 14]. Und einen C-dur Akkord [AV 15]. Und eine Folge von Tönen, die du später hören wirst [AV 16].

Um den Vortrag zu vollenden, fragen wir JSB selbst über der Wichtigkeit von Mathematik in Musik [AV 17].

Fragen

1 Was war das Zweck 'Des Wohltemperierten Klaviers'?
Ant: so dass Spieler Stücke in jeder möglichen Tonart in der 12-Halbton Oktave spielen konnten.

2 Welcher Ton hat eine Frequenz von 128 Hz? (Tip: erinnere dich an das Verhältnis zwischen Oktaven.)
Ant: C unten 'mittlerem C'.

3 'Konzerttonhöhe' (die die Musiker gebrauchen) basiert auf dem A Ton = 440 Hz. Ist diese Tonhöhe höher oder niederer als 'wissenschaftliche' Tonhöhe?
Ant: höher.

4 Wieviele Stücke gibt es im WTK? (Tip: erinnere dich, dass jeder Ton der Oktave zwei Tonarten hat: Dur und Moll)
Ant: 48 (24 Präludien und 24 Fugen).

5 Wieviele Methoden gibt es, ein Klavier zu stimmen?
Ant: Eine unendliche Zahl.

6 Was ist die Frequenz des C Tones zwei Oktaven über 'mittlerem C'?
Ant: 1024 Hz.

7 Eine Biene flattert tipisch ihre Flügel 200 mal pro Sekunde. Welchen Ton wirst du hören, als sie vorbei fliegt?
Ant: Gis unter 'mittlerem C' (ungefähr).

8 Welcher Ton hat eine Frequenz von 1 Hz? Kannst du ihn hören?
Ant: C; nein - Frequenz zu nieder.
INTERVIEW ZWISCHEN TV PRESENTER UND J S BACH



TVP: Guten Tag, Herr Bach.

JSB: Guten Tag. Bitte, ich heisse Johann.

TVP: Danke, Johann. Was dachtest du über den vorhergehenden Vortrag über die Mathematik von Musik?

JSB: Mit Respekt, er war unwesentlich.

TVP: In welcher Weise?

JSB: Nun, ich komponierte 'Das Wohltemperierte Klavier', so dass Musiker Stücke in jeder Tonart spielen üben konnten. Die Abstimmung des Klaviers wurde gewählt, so dass bei diesem Üben richtig tönende Intervalle zwischen den Tönen in jedem Akkord erhalten werden können. Es gab keine damit verbundene Mathematik. Die Abstimmung des Instruments ist nach dem Gehör. Ausgewählte Töne werden zu perfekter Tonhöhe abgestimmt, und andere so weit wie möglich zu perfekter Tonhöhe.

TVP: Wer wählt, welche Töne in dieser Weise abgestimmt werden?

JSB: Wer auch immer das Instrument abstimmt. Wir alle haben unsere eigenen Vorlieben.

TVP: Bedeute es, dass einige Stücke besser klingen, wenn sie in angebenen Tonarten gespielt werden?

JSB: Richtig. Aber Wohltemperieren ist ein Kompromiss, der es möglich machen will, in jeder Tonart zu spielen . Einige Intervalle werden nicht perfekt sein, aber sie sind genau genug, Missklang zu vermeiden.

TVP: So, Johann, die Mathematik ist unwichtig?

JSB: Ich würde sagen: Ja. Musik hat einige Zwecke. Einer ist, so dass der Komponist seine Fähigkeiten vorführen kann. Noch einer ist, dass der Virtuose dasselbe tun kann. Aber der Hauptzweck von Musik ist künstlerisch – emotional, wenn du willst. Sie sollte Freude, oder Trauer, oder Selbstbeobachtung inspirieren können.

TVP: Wie wird sich Musik in der Zukunft entwickeln?

JSB: Sie wird phantastisch sein! Einige Jahrzehnte von heute, werden Wolfgang Amadeus Mozart und Franz Joseph Haydn Musik revolutionieren. Sie wird kultivierter werden, experimenteller. Bald danach wird Ludwig van Beethoven eine neue Epoche erröffnen. Er wird komplizierte, äusserst emotionale Stücke komponieren.

TVP: So, die Zukunft liegt mit deutschen und österreichischen Komponisten?

JSB: Nein, es wird Genies von anderen Ländern geben. Zum Beispiel, Frédéric Chopin aus Polen wird schöne, komplizierte Klaviermusik komponieren. In Italien werden Verdi und Rossini strahlende Opern komponieren. Anderhalb Jahrhunderte von heute werden die bedeutenden russischen Komponisten sich profilieren, mit Tchaikovsky anfangen.

TVP: Wird es keinen Platz für einfache Volksmusik in dieser komlpizierten Zukunft geben?

JSB: Oh, ja. In der Mitte des zwanzigstes Jahrhunderts wird ein neuer Typ von beliebter Musik die Welt fegen. Die Stücke werden kurz sein, gewöhnlich nur ein paar Minuten lang. Das Tempo wird vier-vier sein, mit schwerem Schlagzeug, um die zweiten und vierten Takte jedes Taktstrichs zu betonen.

TVP: Einfache Musik, also?

JSB: Gewöhnlich, ja. Viele Stücke werden nur zu den subdominanten und dominanten Tonarten modulieren, wie heute im Status quo in Volksmusik.

TVP: So, du könntest Musik, die nur drei Akkordmodulationen hat, das Etikett 'Status Quo' Musik geben?

JSB: Ja, es würde ein guter Name für eine Musikgruppe sein, die diese Stücke spielt! Aber 'einfach' bedeutet nicht unbedingt 'langweilig' oder 'schlechte Qualität'. Wenn die Musik in Leuten grosse Gefühle erregt, dann hat sie ihren Zweck erreicht.

TVP: Zurück in die Gegenwart, Johann. 'Das Wohltemperierte Klavier' kommt in der Hitliste gut voran. Können wir ein Stück davon hören?

JSB: Selbstverständlich. Werden wir das erste Stück in Buch 1 hören. Es ist ein Präludium in C-dur. Weil es ein einfaches Stück ist, vertun sich viele Leute, es zu schnell zu spielen. Hier hören wir es elegant gespielt.

TVP: Danke, Johann. [Zu Kamera] Um unser Programm zu vollenden, hören wir nun Präludium Nummer 1. Danke fürs Zuschauen. Auf Wiedersehen.
 THE MATHEMATICS OF MUSIC



What is music? Basically, music is simply air vibrating in specific pressure patterns. Any object vibrating in air will send out pressure pulses. The pulses are detected by the drums in our human ears and converted by the nerves into electrical signals which are sent to the brain for interpretation. If the movement is between 15 and 20,000 vibrations per second we will hear the vibrating air movement as a musical note [AV 06]. In a wind instrument, such as a flute or a trumpet or an organ, blowing air into a tube sets up 'standing waves' of vibrating air, which again we hear as a musical note.

The term 'Hertz' (Hz) is used to express frequency as vibrations per second. In scientific notation, the note 'middle C' has a frequency of 256 Hz. In other words, a musical instrument playing this note makes the air vibrate 256 times per second. The greater the frequency, the higher will be the pitch of the note. So we arrive at the first link between music and mathematics. If we double to frequency to 512 Hz – in other words, if we make the air vibrate twice as quickly – we will hear a C note exactly one octave above middle C. Let's listen to these notes [AV 07].

The wavelength of a sound wave is the distance between successive peaks or troughs in the pressure pulses [AV 08]. We can represent the varying air pressure when a note is played by a waveform diagram [AV 09]. But remember that the air molecules are only vibrating, not travelling. It is only the pressure waves that are travelling. The frequency (pitch) of any note is inversely proportional to the wavelength. So, if we halve the wavelength, we double the frequency. As we already know, doubling the frequency makes the note sound an octave higher [AV 10].

Note that because the frequency of any note is inversely proportional to its wavelength then the product of frequency and wavelength must be constant. In this case the constant is the speed of sound (approximately 340 metres per second).

wavelength  x  frequency  =  speed of sound

or

wavelength  =  speed of sound
                              frequency

or

frequency  =  speed of sound
                           wavelength

What happens if we play the higher and lower C notes together? The waveforms combine to give a more complex pattern, but the human brain is clever enough to resolve the patten into its consituent parts. We can hear the separate notes [AV 11]. In a standard 8-note (12 semitone) octave, the 'perfect' frequency ratios between the frequencies of the notes are as shown here. In this example we'll use the scale of C major [AV 12].

If we try to use these frequencies in other keys, problems arise. We have seen above, for example, that the D note above Middle C has a 'perfect' frequency of 288 Hz. And the A note above middle C has a 'perfect' frequency of 427 Hz. But, like C to G, D to A is also a 'fifth' interval on a standard scale, so the frequency ratio between A and D should also be 1.5 to 1. But the frequencies we have calculated above give a different ratio: 427/288 equals 1.48, not the 1.5 it should be. If an instrument tuned to the 'perfect' C scale frequencies plays an A note, it will therefore sound very slightly flat compared to an A note played on an instrument tuned to the 'perfect' D scale. If these two notes are played together, a discordant 'beating' will be heard [AV 13].

The answer to the problem of frequency mismatch is to find a compromise, accepting that the ideal ratios cannot be achieved. When Bach wrote his WTK pieces, his intention was that players should be able to play pieces in any possible key in the 12-semitone octave. So, all the fifths are close to 1.5 to 1 in frequency ratio, but not exactly so. To most human ears, the slight discrepancy between the compromise and ideal ratios is undetectable. So a piece played in the key of, say, F sharp minor, will sound as 'in tune' as one played in, for example, B flat major on the 'well tempered' klavier (piano).

The most frequent tuning of keyboard instruments these days is in accordance with the equal temperament format, in which the frequency ratio of every note to the note a semitone below or above is identical. Given that there are 12 semitones in an octave, and an octave represents a doubling of frequency, it follows that mathematically the frequency ratio between any two semitones must be equal to the twelfth root of two, that is, 1.059463. In this system, the frequency ratio of any two notes a fifth apart, such as C and G, equates to the twelfth root of two raised to the power 7 (because there are 7 semitones between C and G. The sequence is: C, C#, D, D#, E, F, F#, G). This expression yields the result 1.498307, rather than the 'perfect' 1.500000. As we said before, most ears do not notice the discrepancy. Let's listen to some fifths with equal temperament tuning [AV 14]. And a C-major chord [AV 15]. And a sequence of notes you'll hear later [AV 16].

To finish the discussion, let's usk JSB himself about the importance of maths in music [AV 17].

Questions

1 What was the purpose of the 'Well-tempered piano'?
Ans: So that players could play pieces in all possible keys in the 12-semitone octave.

2 Which note has a frequency of 128 Hz? (Tip: remember the relationship between octaves.)
Ans: C below 'middle C'

3 'Concert pitch' (which musicians use) is based on the 'A' above 'middle C' having a frequency of 440 Hz. Is this note higher or lower in pitch than 'scientific A'?
Ans: higher.

4 How many pieces are there in the WTK? (Tip: remember that each note in the octave has two keys: major and minor.)
Ans: 48 (24 preludes and 24 fugues).

5 How many methods are there for tuning a piano?
Ans: an infinite number.

6 What is the frequency of the C note two octaves above 'middle C'?
Ans: 1024 Hz.

7 A bee typically flaps its wings 200 times a second. Which note will you hear as it flies past?
Ans: G sharp below 'middle C' (approx).

8 Which note has a frequency of 1 Hz? Can you hear it?
Ans: C; no - it's too low.




INTERVIEW BETWEEN TV PRESENTER AND J S BACH



TVP: Good morning, Herr Bach

JSB: Good morning. Please, call me Johann.

TVP: Thank you, Johann. What did you think of the previous presentation about the maths of music?

JSB: With respect, it was irrelevant.

TVP: In what way?

JSB: Well, I wrote the WTK so that musicians could practise playing pieces in any key. The tuning of the piano was chosen so that this could be done while preserving proper-sounding intervals between the notes in any chord. There was no maths involved. The tuning of the instrument is by ear. Selected notes are tuned to perfect pitch and others as nearly as possible to perfect pitch.

TVP: Who chooses which notes are tuned this way?

JSB: Whoever is tuning the instrument. We each have our own preferences.

TVP: Does that mean that some pieces will sound better when they're played in certain keys?

JSB: Correct. But well tempering is a compromise intended to allow playing in any key. Some intervals will not be perfect, but they are accurate enough to avoid dissonance.

TVP: So, Johann, the maths is unimportant?

JSB: That would be my view. Music has several purposes. One is so that the composer can show off his abilities. Another is that the virtuoso can do the same. My WTK is a combination of these. But the main purpose of music is artistic – emotional, if you like. It should be able to inspire joy, or sorrow, or introspection.

TVP: How will music develop in the future?

JSB: It will be fantastic. A few decades from now, WAM and J Haydn will revolutionise music. It will be more sophisticated, more experimental. Soon afterwards, LvB will start a new era. He'll write complex, intensely emotive pieces.

TVP: So the future lies with German and Austrian composers?

JSB: No, there will be geniuses from other countries. For example, F Chopin, from Poland, will write beautiful, intricate piano music. In Italy, Verdi and Rossini will compose brilliant operas. A century and a half from now the great Russian composers will make their mark, starting with Tchaikovsky.

TVP: Will there be no place for simple folk music in this sophisticated future?

JSB: Oh, yes. In the mid 20th century a new type of popular music will sweep the world. The pieces will be short, usually only a few minutes long. The tempo will be four-four, with heavy percussion accentuating the second and fourth beats of each bar.

TVP: Simple music, then?

JSB: Usually, yes. Many pieces will modulate only to the sub-dominant and dominant keys, much like the status quo in folk music today.

TVP: So you could call music which only features three chord modulations 'status quo' music?

JSB: Yes, it would be a good name for a musical group playing these pieces! But 'simple' doesn't necessarily mean 'boring' or 'poor quality'. If the music excites great emotions in people then it has achieved its purpose.

TVP: Back to the present, Johann. The WTK is doing well in the album charts. Can we hear a track from it?

JSB: Of course. Shall we listen to the first piece in Book 1? It's a Prelude in C major. Because it's an easy piece, many people make the mistake of playing it too fast. Here we hear it played elegantly.

TVP: Thank you, Johann. [To camera]. Let's finish the programme by listening to the Prelude #1. Thank you for watching. Goodbye.


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